Tất tần tật về phương trình lượng giác cần biết

Toán 11 vẫn luôn được mọi thế hệ học sinh đánh giá rằng khó nhất trong tất cả mọi cấp học bởi toán học 11 là tiền đề vô cùng quan trọng cho toán 12 và thi THPT quốc gia. Và phần đầu tiên khi chúng ta cần học ở chương trình lớp 11 là phương trình lượng giác. Nếu bạn cảm thấy khó hiểu với phương trình lượng giác thì đừng bỏ qua bài viết này vì giấy Hải Tiến chắc chắn sẽ mang tới những điều căn bản nhất về giải phương trình lượng giác.

Lý thuyết và công thức về phương trình lượng giác cơ bản 

Hãy cùng điểm qua các công thức lượng giác cơ bản đáng nhớ sau đây.

Phương trình sin x=α (-1≤α≤1)

- Đặt sin x = sin α (α là góc có sinα) với α ∈ { ± ½; ± √2/2; ± √3/2} dùng công thức sau (1)

⇒ sin x = α

⇔ sin x = sin α

⇔ x = α + k2π ( k ∈ Z )

hoặc x = π - α + k2π ( k ∈ Z )

với x = α + k2π/n → Có n điểm phân biệt trên đường tròn.

- Giải nhanh: (2)

sin x = 0 ⇔ x = kπ

sin x = 1 ⇔ x = π/2 + k2π

sin x = -1 ⇔ x = -π/2 + k2π

- Dùng arc khi (-1≤α≤1) mà không thỏa mãn (1) và (2):

⇒ sin x = α ⇔ x = arcsin α + k2π hoặc x = π - arcsin α + k2π

Ví dụ với phương trình căn bản nhất

Phương trình cos x=α (-1≤α≤1)

- Đặt α = cos x với α ∈ { ± ½; ± √2/2; ± √3/2} ta dùng 

⇔ cos x = cos α 

⇔ x = α + k2π ( k ∈ Z )

hoặc x = - α + k2π ( k ∈ Z )

- Giải nhanh: 

cos x = 0 ⇔ x = π/2 + kπ

cos x = 1 ⇔ x = k2π

cos x = -1 ⇔ x = π + k2π

 Dùng arc khi (-1≤α≤1) mà không thỏa mãn hai cách trên:

⇒ cos x = α ⇔ x = arccos α + k2π hoặc x = - arccos α + k2π

Phương trình tanx=α ∀ x ∈ k

- Đặt x = tan α ( x ≠ π/2 + kπ) α ∈ { ± √3; ± √2/3} ta dùng công thức sau:

⇔ x = α + kπ ( k ∈ Z )

- Giải nhanh:

tan x = 0 ⇔ x = kπ

tan x = 1 ⇔ x = π/4 + kπ

tan x = -1 ⇔ x = -π/4 + k2π

- Dùng arc khi α là trường hợp ngoại lệ của 2 điều kiện trên:

tan x = α ⇔ x = arctan α + kπ

Phương trình cot x =α ∀ x ∈ k

- Đặt x = cot α ( x ≠ π/2 + kπ) α ∈ { ± √3; ± √2/3} ta dùng công thức sau:

⇔ x = α + kπ ( k ∈ Z )

- Giải nhanh:

cot x = 0 ⇔ x = π/2 + kπ

cot x = 1 ⇔ x = π/4 + kπ

cot x = -1 ⇔ x = -π/4 + k2π

- Dùng arc khi α là trường hợp ngoại lệ của 2 điều kiện trên:

cot x = α ⇔ x = arccot α + kπ

Các dạng phương trình lượng giác phổ biến nhất

Để các bạn có thể hình dung tốt nhất về các dạng phương trình lượng giác hay gặp phải nhất thì Hải Tiến sẽ giới thiệu ngay tới các bạn 6 loại sau đây.

Phương trình bậc nhất cùng một hàm số lượng giác bất kì

- Dạng tổng quát: 

asinx + b = 0; acosx + b = 0; atanx + b = 0; acotx + b = 0.

- Cách giải: Chuyển về cách giải phương trình lượng giác cơ bản

- Ví dụ: 3sin4x = 2 

⇔ sin 4x = ⅔

⇔ 4x = arcsin ⅙ + k2π ( k ∈ Z )

hoặc 4x = π - arcsin ⅔ + k2π ( k ∈ Z )

⇔ x = arcsin ⅙ + kπ/2 ( k ∈ Z )

hoặc x = π - arcsin ⅙ + kπ/2 ( k ∈ Z )

Tìm nghiệm cho phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn theo yêu cầu đề bài

- Phương pháp làm bài:

Bước 1: Giải phương trình lượng giác và tìm các họ nghiệm (nếu chúng tồn tại)

Bước 2: Cho mỗi họ nghiệm vừa tìm thuộc khoảng, đoạn theo đề ra và tìm tham số k ( k ∈ Z )

Bước 3: Thế từng giá trị k vừa tìm vào họ nghiệm để tìm nghiệm tương ứng.

Phương trình bậc hai, bậc ba với một số hàm số lượng giác

Các phương trình sau khi được biết đổi có dạng sau:

- asin2x + bsinx + c =0 (-1≤α≤1) (1)

Đặt u = sinx

(1)  au2 + bu + c = 0

- acos2x + bcosx + c =0 (-1≤α≤1) (2)

Đặt u =cosx

(2)  au2 + bu + c = 0

- atan2x + btanx + c =0 (cosx  0) (3)

Đặt u = tanx

(3)  au2 + bu + c = 0

- acot2x + bcos x + c =0 (sinx  0) (4)

Đặt u = cotx

(4)  au2 + bu + c = 0

Phương trình cổ điển (phương trình bậc nhất với sinx và cosx thường gặp)

Dạng tổng quát: asinx + bcosx = c (*) (a2 +b2  c2)

Chia 2 về của phương trình (*) cho a2 + b2

 aa2 + b2 . sinx + ba2 + b2 . cosx = ca2 + b2

Đặt aa2 + b2 = cos 

và  ba2 + b2 = sin

(*)  sinx . cos + sin . cosx = ca2 + b2

 sin (x + ) = ca2 + b2

Điều kiện -1  ca2 + b2  1

 ca2 + b2  1  a2 +b2  c2

 Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi a2 +b2  c2

Ví dụ minh họa cho phương trình bậc nhất với sinx và cosx

Phương trình đối xứng

- Dạng 1: a (sinx + cos x ) + b.sinx.cosx = c

Đặt t = sinx + cosx  sinx.cosx = t2 -12

Điều kiện: t  2

- Dạng 2: a (sinx - cos x ) + b.sinx.cosx = c

Đặt t = sinx - cosx  sinx.cosx = 1-t2 2

Điều kiện: t  2

- Dạng 3: asinx  cosx + b.sinx.cosx = c

Đặt t = sinx  cosx

Điều kiện: 0  t  2

Phương trình tích

- Các biểu thức: 1 + sin2x; cos2x; 1 + tan x; 1 + cotx; sin3x + cos3x; sin4x + cos4x; cos3x - sin3x; tanx - cotx; 2sin (x - π/4) có nhân tử chung là: sinx + cosx.

- Các biểu thức: 1 - 2sinx; cos2x; 1 - tanx; 1 - cotx; cos3x + sin3x; cos4x + sin4x; cos3x - sin3x; tanx - cotx; 2.sin (x -π/4 ) có nhân tử chung là: sinx - cosx.

- Các biểu thức: sin3x; sin2x; tan2x thường có nhân tử chung là: 1 - cosx hoặc 1 + cosx. 

- Các biểu thức: cos3x; cos2x; cot2x thường có nhân tử chung là: 1 - sinx hoặc 1 + sinx.

Như vậy là thông qua bài viết này Hải Tiến đã giới thiệu cho các bạn về giải phương trình lượng giác, các dạng và cách giải đơn giản và hiệu quả nhất. Hy vọng bài viết này sẽ giúp các bạn phần nào bớt khó khăn trong việc giải phương trình lượng giác.